6000元 还了2000还有4000不还可以起诉吗？

可以的

我是一名刚拿到驾照不久的新手司机，昨天开车时被一辆违规变道的车辆撞了，今天去交警大队定责，对方全责且表示要走保险理赔。这种情况下，后续是由对方的保险公司主动联系我对接赔偿事宜，还是需要我先联系对方的保险公司呢？

你得主动去维护自己的权益，法律不会帮那些明明有权利却什么都不做、只是干等着的人。